Mønsterplanen 1971 · midlertidig utgave, s. 156 (skann 158)

156 Lukkethet. Behandler hver av sidene for seg: At Q er lukket overfor en tilordningsregel ring, betyr at for ethvert element a,b som tilhører grunnmengden, vil også a ob tilhøre grunnmengden. Definisjon av lukkethet kan kort skrives slik: (Va,beQ) (aobeQ). altså Q,er lukket overfor a ob. Den kommutative lov. Av eksemplet side 155 ser det ut som om For å undersøke om den kommutative lov gjelder innen Q, må en vise at (1) er sann for ethvert x,y G Q. Med symboler (2) Behandler hver av sidene for seg : Resultatet viser at (2) er sant. Den assosiative lov Som innledende betraktninger om assosiativitet kan følgende oppgaver høve: Regn ut: (*O1) o2 |o(l o2) Utregning Resultatet tyder på at tilordningsregelen er assosiativ. Av eksemplet over ser det ut som om For å fastslå assosiati vitet må en vise at (3) gjelder for ethvert x,y,z GQ. Med symboler: Undersøk om «ring» er distributiv over «stjerne». Som for den assosiative lov kan et innledende talleksempel være høvelig. Undersøkelse av distributivitet er noe mer krevende, og en bør her velge enkle oppgaver. Bevis : Må vise at for ethvert x,y,z GQhar en: Resultatet viser at (6) er sann. Elevene må også gjøres fortrolige med distributivitet i logikk og mengdelære. Nøytralt element. Innføringen av nøytralt element bør behandles i forbindelse med nøytralt element for de vanlige regneregler (tilordningsreglene: multiplikasjon, addisjon). En bør under innøvingen begrense seg til å behandle nøytralt element for tilordningsregler når grunnmengden er endelig, og der grunnmengden inneholder det nøytrale elementet. Det nøytrale element vil da kunne leses direkte ut fra tabellen. I dette eksemplet (x Oy) Oz=(x Oy)z+ (x Oy) + z = (xy+x+y)z+ (xy+x+y) + z =xyz+ xy+ xz+ yz+ x+ y+ z x o(y Oz)=x(y Oz) + x+ (y Oz) =x(yz+ y+ z) + x+ (yz+ y+ z) — xyz+ xy+ xz-f- yz+ x+ y+ z For to vilkårlig valgte a,b eQ.har en: Resultatet viser at (4) er sant. Il a l^ b J! Q 'Kab+(a+b) EQ^aobeQ, /) abEi^l ) D en distributive lov. 1) x oy=y Ox (Vx,y£Q) ( X Oy = yOx) x Oy=xy+x+y y Qx=yx+ y+ x=xy+ x+ y (i o 1)62=8 }o(lo2)=8 (3) (x Oy) O Z = X O(y Oz) (4) (Vx,y,z GQ) ((x o y ) o z = xo(y oz)) En sammenlikning med x(y+z)=xy+xz kan lønne seg. Gitt tilordningsregelen : aob= ab+ a+ b, a *b=a+b+ 1. (5) xO(y#z) = (xOy)#(xOz) Med symboler (6) (Vx,y,z 6Q) (x o(y »z)=(x Oy) * (x oz)) Behandler hver side for seg: x o(y *z)=x • (y *z) +x+ (y *z) = x(y+z+l) + x+(y+z+l) =xy+ xz+ 2x+ y+ z+ 1 (x Oy) #(x Oz) = (x Oy)+(x Oz)+1 = (xy+ x+ y) + (xz+ x+ z) + 1 = xy+ xz+ 2x+ y+ z+ 1

Mønsterplanen 1971 · midlertidig utgave s. 156 skann 158

Siter